3.-ENERGÍA DE FERMI

INTRODUCCION

La Energía de Fermi es la energía del nivel más alto ocupado por un sistema cuántico a temperatura cero. Se denota por EF y recibe su nombre del físico italiano-americano Enrico Fermi. La energía de Fermi es importante a la hora de entender  el comportamiento de partículas fermiónicas, como por ejemplo los electrones. Los fermiones son partículas de spin semientero que verifican el Principio de exclusión de Pauli que dicta que dos fermiones no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico. De esta manera, cuando un sistema posee varios electrones, estos ocuparán niveles de energía mayores a medida que los niveles inferiores se van llenando. La energía de Fermi es un concepto que tiene muchas aplicaciones en la teoría del orbital, en el comportamiento de los semiconductores y en la física del estado sólido en general. Brevemente se puede decir que la superficie de Fermi divide los estados electrónicos ocupados de los que permanecen libres [2].

Enrico Fermi y Paul Dirac, derivaron las estadísticas de Fermi-Dirac. Estas estadísticas permiten predecir el comportamiento de sistemas formados por un gran número de electrones, especialmente en cuerpos sólidos.

Donde eF es la energía de Fermi, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Por lo tanto, el potencial químico es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas muy inferiores a una energía característica denominada Temperatura de Fermi, eF/k. Esta temperatura característica es del orden de 105°K para un metal a una temperatura ambiente de (300 K), por lo que la energía de Fermi y el potencial químico son esencialmente equivalentes. Este es un detalle significativo dado que el potencial químico, y no la energía de Fermi, es quien aparece en las estadísticas de Fermi-Dirac.

 

FUNCIÓN DE FERMI

La función de Fermi es una función probabilística, que indica la probabilidad de que un estado cuántico de energía E este ocupado por un electrón, también especifica la fracción de todos los estados de energía E ocupados en condiciones de equilibrio térmico [7].

 

Ecuación 3.1

Donde:

EF= Energía de Fermi

E=Energía

K= Constante de Boltzmann cuyo valor es K=8.62 x 10^-5(eV/°K)

T= Temperatura

 

Para un gas ideal, si aplicamos la función de Fermi para un Temperatura T=0 y para E>EF teniendo la ecuación (3.1).

 

La ecuación 3.1 queda de la siguiente forma:

F (E)= 0

Si aplicamos la función de Fermi para un Temperatura T=0 y para E<EF  retomando la ecuación (3.1).

La función de Fermi es igual a uno para una Energía E mucho menor a EF.

F (E)= 1

Para bajas temperaturas  la función de Fermi es un escalón como se muestra en la figura 3.1, quiere decir que los electrones se van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba, hasta que se hayan puesto todos los electrones en orden.

F (E) =  1 cuando E < EF

 F (E)= 0    cuando E > EF

Figura 3.1 Función de Fermi para T=0°K

La grafica muestra que a 0°K los electrones están a su nivel más bajo de energía. La probabilidad de que un estado cuántico este ocupado es uno  para E<EF, y la probabilidad de que este ocupado es cero para E>EF.

Todos los electrones tienen energías por debajo de la energía de Fermi a T=0°K.

Si aplicamos la función de Fermi para una temperatura mayor a 0°K, de la ecuación (3.1) tenemos:

T>0°K y E=EF

Para este caso la función de Fermi se expresa como la probabilidad de que un estado este o no ocupado de 1/2.

La figura 3.2 muestra la representación gráfica de la función de Fermi para T diferente de Cero.

 

Donde de acuerdo a la función de Fermi se puede deducir lo siguiente:

Aplicamos a la ecuación (3.1)

 Si E= EF+ KT

Si E= EF+2KT

 

Si E= EF+3KT

Se observa que todos los estados que tienen una energía de 3KT por debajo de la energía de Fermi se considera que están libres o desocupados, la probabilidad es por la función de Fermi de F (E)=0.474.

Ahora, aplicando a la ecuación (3.1) Función de Fermi para:

E= EF- KT

E= EF- 2KT

E= EF- 3KT

Por arriba de 3KT del nivel de Fermi todos los niveles energéticos tienen la probabilidad de F (E)=0.95 de estar ocupados [1].

Como puede verse si E = EF para todas las curvas para T > 0 ºK pasan siempre por F (E)=(E=EF) = 1/2. Para temperaturas mayores a T= 0 ºK hay una probabilidad no nula que algunos estados de energía por encima de EF estén ocupados por electrones y, consecuentemente, algunos estados por debajo de EF estarán vacíos. 

En resumen para un estado con energía E>E_f tendrá más posibilidades de ser ocupado a mayor temperatura. A una temperatura T, la probabilidad de ocupación disminuye si aumenta la energía. Para cualquier T, la probabilidad de encontrar un electrón con una energía E_f es de 1/2.

A T=0 la probabilidad de encontrar un electrón  con E>E_f es 0 y con E<E_f es 1.

Si la probabilidad de encontrar un electrón es f(E), la probabilidad de no encontrarlo (o tener huecos) es 1-f(E).

La imagen 3.3 muestra las curvas características de la función de Fermi para diferentes temperaturas y se puede observar las diferentes probabilidades de ocupación.

Figura 3.3 Curvas características de la función de Fermi